Меню

Как решить квадратное уравнение онлайн бесплатно



Решение задач по математике онлайн

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>z + \frac<1><7>z^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
\( -x^2+6x+1<,>4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac<4><9>=0 \)
имеет вид
\( ax^2+bx+c=0, \)
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём \( a \neq 0 \).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \( c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
\( x^2 = -\frac \Rightarrow x_ <1,2>= \pm \sqrt< -\frac> \)

Так как \( c \neq 0 \), то \( -\frac \neq 0 \)

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Читайте также:  Как скачать бесплатно без регистрации обновления

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\( x^2+\fracx +\frac=0 \)

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\( x^2+2x \cdot \frac<2a>+\left( \frac<2a>\right)^2- \left( \frac<2a>\right)^2 + \frac = 0 \Rightarrow \)

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\( D = b^2-4ac \)

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\( x_ <1,2>= \frac < -b \pm \sqrt> <2a>\), где \( D= b^2-4ac \)

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac <2a>\).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\( \left\< \begin x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end \right. \)

Источник

Квадратное уравнение

Решение квадратных уравнений

Как бы кто ни говорил, но тема квадратных уравнений – это база всей школьной программы. Читая дальше, вы поймете почему.

Решая линейные уравнения, требуется лишь навык применения арифметических операций. Даже решать систему линейных уравнений несложно, все сводится к сложению, вычитанию или раскрытию скобок, когда подставляем одно уравнение в другое. И так далее.

Иное дело, когда возрастает старшая степень неизвестной переменной, и первый вид таких уравнений как раз называется квадратным уравнением, когда неизвестная переменная представлена во второй степени.

Есть прямая связь квадратных уравнений с тем, что мы можем наблюдать вокруг нас. Тема квадратных уравнений легкая, но очень важная и требует полного изучения, однако, этим пренебрегают ученики, да и учителя тоже.

Например, полет снаряда, выпущенного из орудия, летит по траектории, описываемой квадратным уравнением, и называется параболой. Парабола имеет вершину и две ветви, расположенные зеркально, что напоминает подкову.

Где встречаются квадратные уравнения

На практике квадратные уравнения встречаются практически во всех сферах жизненной деятельности человека, от науки до искусства. В школьной программе обязательно в алгебре, геометрии со стереометрией, тригонометрии, при упрощении выражений и так далее. Разумеется, не только в математике. В химии, физике, экономике, биологии и других науках без квадратных уравнений никак не обойтись.

Более того, в некоторых задачах необходимо оперировать со значениями, являющимися корнями квадратного уравнения, и опять-таки требуется находить корни. Если нахождение корней квадратного уравнения является промежуточным действием, например, необходимо использовать только сумму корней или их произведение, то глядя на уравнение, это сразу видно. Но опять же это нужно знать!

График квадратного уравнения

Как вы уже знаете графиком квадратного уравнения является парабола. По виду уравнения можно легко определить расположение ее вершины и направление ветвей относительно системы координат.

Парабола может либо пересекать ось абсцисс (в одной или двух точках), либо не пересекать ее. Во втором случае говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных решений (корней). Если же график параболы пересекает ось абсцисс, то корней два или один как минимум.

Запомните! У квадратного уравнения всегда имеются либо два разных, либо один кратности два корень, потому что уравнение второй степени. В том случае, когда корни не принадлежат полю действительных чисел, они находятся в поле комплексных чисел. Если вы еще не слышали про комплексные числа, просто примите это к сведению.

Читайте также:  Как обновить windows 7 до windows 10 бесплатно вручную

Что такое дискриминант

Общий вид квадратного уравнения следующий:

Умножим обе части уравнения на 4*a, прибавим b 2 к обеим частям и применим формулу сокращенного умножения «квадрат суммы». Перенесем 4*a*c в правую часть уравнения. В результате получим:

(2*a*x + b) 2 = b 2 – 4*a*c

Отсюда очевидно, что при b 2 – 4*a*c 2 – 4*a*c = 0 только один кратный корень.

И третий случай, при b 2 – 4*a*c > 0 уравнение имеет два разных корня.

Рассмотрим последний случай, когда уравнение имеет два разных корня x1 и x2. Соответственно график параболы пересекает ось X в двух разных точках.

Координата вершины параболы определяется значением x = –b/2a.

Так как график параболы симметричен, то оба корня равноудалены от линии, проходящей через ее вершину.

Отсюда очевидно, что чем больше значение дискриминанта, тем дальше друг от друга располагаются корни уравнения. В этом заключается геометрический смысл дискриминанта.

Другими словами, значение дискриминанта напрямую указывает на удаленность корней уравнения друг от друга на числовой оси.

Так вот, удаленность корней друг от друга и называются дискриминантом, а формула, которую дают в школе под соусом «дискриминант», всего лишь выражает этот факт.

Как найти корни квадратного уравнения

Самое интересное это поиск корней уравнения. Есть несколько методов их нахождения, перечислим более известные.

1. Первый из них, самый известный всем школьникам, описанный выше, – это поиск по формуле квадратного уравнения, используя значение дискриминанта.

2. Принято отдельно считать метод выделения полного квадрата. Но как мы видели из поиска дискриминанта, это вытекает из первого способа.

3. Другой популярный способ – это разложение уравнения на множители, когда его приводят к виду (x+A)*(x+B)=0. Частный случай такого уравнения x*(x+A)=0 с нулевым корнем.

4. Еще один не менее важный способ – графический. В этом методе исследуют график параболы и находят ее пересечение с осями координат.

5. Очень удобный способ определения корней квадратного уравнения и часто применяемый в практических задачах – применение теоремы Виета.

Рассмотрим пример определения корней по теореме Виета

Пусть дано уравнение x 2 — 5 x + 6 = 0

Согласно этой теореме, сумма корней есть коэффициент перед x, но с противоположным знаком, а произведение корней – это значение свободного члена квадратного уравнения.

Калькулятор решения квадратных уравнений

С нашим калькуляторе вы без проблем решите любое квадратное уравнение онлайн. Он полезен как для самопроверки, таки и для изучения этой темы, поскольку пошагово покажет весь ход решения до определения корней.

В калькуляторе предусмотрены различные варианты решения квадратного уравнения. Это по формуле через дискриминант, с помощью выделения полного квадрата и методом разложения на множители.

Каждый способ решения хорош по-своему, а главное помогает школьникам лучше усвоить столь важную тему как решение квадратных уравнений.

Источник

Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений.

Используя этот онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений, вы сможете очень просто и быстро найти корни квадратного уравнения.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения квадратных уравнений, вы получите детальное решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный на уроках материал.

Калькулятор квадратных уравнений

Ввод данных в калькулятор квадратных уравнений

Если в квадратном уравнении есть знаки вычитания, то перед соответствующими коэффициентами в онлайн калькуляторе нужно поставить знак минус («-«).
Например, квадратное уравнение x 2 — x — 5 = 0, вводится в калькулятор следующим образом:

Если в квадратном уравнение меньше трех слагаемых, то рядом с отсутствующим слагаемым в онлайн калькуляторе необходимо ввести коэффициент ноль («0»).
Например, квадратное уравнение: x 2 — 4 x = 0, вводится в калькулятор следующим образом:

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора квадратных уравнений

  • Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Решение квадратных уравнений.

a x 2 + b x + c = 0,

где a не равно 0.

Для решения квадратного уравнения необходимо посчитать дискриминант многочлена

  • Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
  • Если D = 0, то уравнение имеет один корень ( x 1 = x 2).
  • Если D x 1,2 =— b ± √ D2 a

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Источник

Онлайн калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор решения квадратных уравнений позволит решить полное или неполное квадратное уравнение, найти корни и дискриминант квадратного уравнения по известным коэффициентам.

Читайте также:  Как бесплатно получить доступ к платным разделам сайта

Наш калькулятор вычисляет квадратные уравнения с помощью формулы дискриминанта. Если один или несколько коэффициентов уравнения равны нулю, могут применяться более простые методы. Калькулятор проводит анализ квадратного уравнения и выбирает самый подходящий способ решения. Вы можете решить квадратное уравнение бесплатно, используя удобную панель калькулятора. При необходимости вы можете посмотреть обучающее видео по использованию нашего решателя.

Добро пожаловать на сайт Pocket Teacher

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

начать

Квадратное уравнение

Что такое квадратное уравнение и как его решать

Квадратное уравнение имеет вид: a∙x 2 + b∙x + c = 0

Значение переменной x считается корнем квадратного уравнения в случае если при ее подстановке данное уравнение обращается в верное равенство.

Значение переменной x считается корнем квадратного уравнения в случае если при ее подстановке данное уравнение обращается в верное равенство. Корней квадратного уравнения может быть несколько, или один. Один корень квадратного уравнения получается когда дискриминант равен нулю. При необходимости, при помощи калькулятора можно посчитать отдельно значение дискриминанта.

В калькулятор в качестве коэффициентов a, b и c можно вводить не только числа и дроби, но и параметры. Коэффициент a при x2 не может равняться нулю, иначе это не будет получаться квадратное уравнение. Смысл квадратного уравнения заключается в том, что в уравнении есть переменная x2, которая и создаёт дополнительные корни. В случае если коэффициент перед x2 будет равен нулю, то получится простое линейное уравнение, которое Вы также сможете решить с помощью нашего калькулятора и которое будет иметь только один корень. Скопируйте или введите самостоятельно в строку решателя квадратное уравнение, которое необходимо решить.

В случае если все коэффициенты квадратного уравнения — действительные числа, в зависимости от знака дискриминанта, то у уравнения могут быть только действительные корни или два комплексно-сопряженных корня. Калькулятор учитывает данные варианты автоматически.

Как пользоваться калькулятором квадратных уравнений?

Воспользоваться калькулятором квадратных уравнений вы всегда сможете на сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить квадратное уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Источник

Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений.

Используя этот онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений, вы сможете очень просто и быстро найти корни квадратного уравнения.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения квадратных уравнений, вы получите детальное решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный на уроках материал.

  • Калькулятор
  • Инструкция
  • Теория

Калькулятор квадратных уравнений

Ввод данных в калькулятор квадратных уравнений

Если в квадратном уравнении есть знаки вычитания, то перед соответствующими коэффициентами в онлайн калькуляторе нужно поставить знак минус («-«).
Например, квадратное уравнение x 2 — x — 5 = 0, вводится в калькулятор следующим образом:

Если в квадратном уравнение меньше трех слагаемых, то рядом с отсутствующим слагаемым в онлайн калькуляторе необходимо ввести коэффициент ноль («0»).
Например, квадратное уравнение: x 2 — 4 x = 0, вводится в калькулятор следующим образом:

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора квадратных уравнений

  • Между полями для ввода дробей можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Решение квадратных уравнений.

Для решения квадратного уравнения необходимо посчитать дискриминант многочлена

  • Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
  • Если D = 0, то уравнение имеет один корень ( x 1 = x 2).
  • Если D x 1,2 =— b ± √ D2 a

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Источник