Меню

Арнольд что такое математика скачать бесплатно



Арнольд что такое математика скачать бесплатно

Файл: _Арнольд В.И., Что такое математика.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлена: 09.11.2019

Просмотров: 1818

Скачиваний: 6

Что такое математика?

УДК 51(07)
ББК 22.1

Что такое математика?

2-е изд., стереотип.

Первое издание книги вышло в 2002 г.

Владимир Игоревич Арнольд

ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?

Подписано к печати 10.10.2008 г. Формат 60

16. Печать офсетная.

Объем 6,5 печ. л. Тираж 1000 экз. Заказ №

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241

Отпечатано с готовых диапозитивов в ООО

Арнольд В. И., 2002

Вопрос о том, является ли математика

перечислением следствий из

или же ветвью естествознания и теоретической

физики, много обсуждался уже со времен Гильберта (придерживавшегося,
вслед за Декартом и предвосхищая Бурбаки, первого мнения) и Пуанкаре
(основателя современной математики, топологии и теории хаоса и динами-
ческих систем).

Я буду говорить в основном о содержательных примерах, показыва-

ющих кардинальные различия точек зрения аксиомофилов и естествоис-
пытателей уже на столь фундаментальные понятия, как производные и
пределы, теоремы существования и единственности, оптимизация и теория
управления, как неразрешимость одних проблем и измерение сложности
других.

Исходным пунктом для меня послужила дискуссия между Я. Б. Зель-

довичем и Л. С. Понтрягиным о преподавании математики и сообщение
лунного баллистика М. Л. Лидова о невозможности плавного причалива-
ния корабля к пристани

с одной стороны, а с другой

ошибки в книгах

Р. Куранта и Г. Роббинса

Что такое математика?

и И. М. Гельфанда,

Е. Г. Глаголевой и Э. Э. Шноля

Функции и графики

Считая, что ошибки составляют не менее важную часть математики,

чем доказательства, я надеюсь рассказать также о причинах невозможно-
сти обойтись при геометрических построениях одной линейкой без циркуля,
о малоизвестных взаимоотношениях Лобачевского и Евклида с постулатом
о параллельных, о связи теоремы Абеля (о неразрешимости общего урав-
нения пятой степени в радикалах) с топологией римановых поверхностей
и с его же теорией интегрирования в элементарных функциях, а также о
математических открытиях Плутарха и А. Д. Сахарова.

В 1949 г. математику в СССР хотели уничтожить, вероятно, вследствие

распространения мнения (Г. Харди, идеи которого впоследствии развил
Ю. Манин, и других

), будто основным достоинством мате-

матики является ее

. Огорчительно, конечно, что

с этим снобистским мнением еще приходится бороться и сегодня, но я
надеюсь ему, по мере сил, противостоять (см. ниже § 2 о мракобесии в
математике).

Источник

Арнольд Владимир Игоревич

Арнольд Владимир Игоревич

Новая книга выдающегося математика современности Владимира Игоревича Арнольда раскрывает еще одну сторону его многогранного таланта — создание исторических миниатюр, удивительных и по форме, и по.

Арнольд Владимир Игоревич

Эта брошюра представляет собой текст доклада, сделанного академиком В.И.Арнольдом в 1997 году на семинаре при Президентском совете РФ. В докладе рассказано о применениях теории дифференциальных.

Арнольд Владимир Игоревич

Основным содержанием книги является статья академика Владимира Игоревича Арнольда, написанная в 2002 году: «…Вопрос о том, является ли математика „перечислением следствий из произвольных аксиом“ или.

Арнольд Владимир Игоревич

В брошюре воспроизводится статья член-корреспондента АПН РСФСР Игоря Владимировича Арнольда об основных положениях, из которых следует исходить при отборе и составлении текстовых задач в курсе.

Арнольд Владимир Игоревич

За 40 лет, прошедших со времени выхода первого издания, этот учебник успел стать классическим. Большое внимание уделяется геометрическому смыслу основных понятий. В книге прослеживается тесная связь.

Арнольд Владимир Игоревич

Эта брошюра, написанная выдающимся современным математиком академиком РАН В.И.Арнольдом, основана на прочитанных автором популярных лекциях для старшеклассников. В живой и увлекательной форме.

Арнольд Владимир Игоревич

В этой книге, являющейся записью прочитанной автором 13 ноября 2004 года лекции для школьников Малого мехмата МГУ, рассказано об удивительных недавно открытых связях алгебраической теории полей Галуа.

Арнольд Владимир Игоревич

Сборник «Задачи для детей от 5 до 15 лет» вызвал много отзывов. И дети, и взрослые читатели часто сожалели, что там были только математические задачи, – ведь и всё естествознание заслуживает столь же.

Арнольд Владимир Игоревич

Комплексные числа описывают движения евклидовой плоскости, одному вращению трёхмерного пространства соответствует два кватерниона, различие которых (физики назвали это явление спином) связано со.

Арнольд Владимир Игоревич

В книге изложен ряд основных идей и методов, применяемых для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. Элементарные методы интегрирования рассматриваются с точки зрения общематематических.

Арнольд Владимир Игоревич

В книге, написанной на основе лекции для студентов, посвященной трехсотлетию «Математических начал натуральной философии» Ньютона, рассказывается о рождении современной математики и теоретической.

Арнольд Владимир Игоревич

Данная книга – это первая монография, в которой топологические, теоретико-групповые и геометрические задачи идеальной гидродинамики и магнитогидродинамики рассматриваются с единой точки зрения.

Арнольд Владимир Игоревич

Книга содержит записи курсов лекций, прочитаных академиком В.И. Арнольдом в 2005 г. в Дубне, на летней школе «Современная математика». В книге рассказывается о нескольких новых направлениях.

Арнольд Владимир Игоревич

Данный курс был разработан и прочитан выдающимся математиком В. И. Арнольдом в Независимом московском университете. Помимо традиционных вопросов курса уравнений с частными производными (метод.

Арнольд Владимир Игоревич

Одномерные каустики и волновые фронты являются специальными классами плоских кривых. Исследование их особенностей привело к созданию новых глав топологии. В этой книге, начиная с простых примеров.

Арнольд Владимир Игоревич

В первой части книги выдающийся математик В. И. Арнольд в полемической форме рассуждает о соотношении чистой и прикладной математики. Вторая часть книги содержит записи курсов лекций, прочитанных.

Источник

Что такое математика?

Скачать книгу

О книге «Что такое математика?»

Основным содержанием книги является статья академика Владимира Игоревича Арнольда, написанная в 2002 году: «…Вопрос о том, является ли математика „перечислением следствий из произвольных аксиом“ или же ветвью естествознания и теоретической физики, много обсуждался уже со времен Гильберта (придерживавшегося, вслед за Декартом и предвосхищая Бурбаки, первого мнения) и Пуанкаре (основателя современной математики, топологии и теории хаоса и динамических систем). Я буду говорить в основном о содержательных примерах, показывающих кардинальные различия точек зрения аксиомофилов и естествоиспытателей уже на столь фундаментальные понятия, как производные и пределы, теоремы существования и единственности, оптимизация и теория управления, как неразрешимость одних проблем и измерение сложности других…» Книга содержит также «Доклад о девяти недавних математических открытиях» и Задачи парижского семинара 2002 года.

Произведение было опубликовано в 2012 году издательством МЦНМО. На нашем сайте можно скачать книгу «Что такое математика?» в формате pdf или читать онлайн. Рейтинг книги составляет 4.3 из 5. Здесь так же можно перед прочтением обратиться к отзывам читателей, уже знакомых с книгой, и узнать их мнение. В интернет-магазине нашего партнера вы можете купить и прочитать книгу в бумажном варианте.

Мнение читателей

Но, насколько я понимаю, книга и не стремилась быть чем-то вроде фейнмановских баек (хотя они тоже прекрасны)

Источник

«Что такое математика? МЦНМО, 2002 УДК 51(07) ББК 22.1 А84 Арнольд В. И. А84 Что такое математика?— М.: МЦНМО, 2002.— 104 с. ISBN 5-94057-090-9 ББК 22.1 В. И. Арнольд. Математический . »

Что такое математика?

А84 Что такое математика?— М.: МЦНМО, 2002.— 104 с.

В. И. Арнольд. Математический институт им. В. А. Стеклова РАН и университет Париж—Дофин. Автор благодарен РФФИ за частичную финансовую

поддержку во время написания брошюры (грант 02-01-00655).

Владимир Игоревич Арнольд

ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11.

Лицензия ИД №01335 от 24.03.2000 г. Подписано к печати 27.12.2002 г. Формат 60 90/16. Печать офсетная. Объем 6,5 печ. л. Тираж 1000 экз. Заказ №.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Полиграфические ресурсы».

c Арнольд В. И., 2002.

ISBN 5-94057-090-9 c МЦНМО, 2002.

Вопрос о тоц, является ли математика «перечислением следствий из произвольных аксиом» или же ветвью естествознания и теоретической физики, много обсуждался уже со времен Гильберта (придерживавшегося, вслед за Декартом и предвосхищая Бурбаки, первого мнения) и Пуанкаре (основателя современной математики, топологии и теории хаоса и динамических систем).

Я буду говорить в основном о содержательных примерах, показывающих кардинальные различия точек зрения аксиомофилов и естествоиспытателей уже на столь фундаментальные понятия, как производные и пределы, теоремы существования и единственности, оптимизация и теория управления, как неразрешимость одних проблем и измерение сложности других.

Исходным пунктом для меня послужила дискуссия между Я. Б. Зельдовичем и Л. С. Понтрягиным о преподавании математики и сообщение лунного баллистика М. Л. Лидова о невозможности плавного причаливания корабля к пристани — с одной стороны, а с другой — ошибки в книгах Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика?» и И. М. Гельфанда, Е. Г. Глаголевой и Э. Э. Шноля «Функции и графики».

Считая, что ошибки составляют не менее важную часть математики, чем доказательства, я надеюсь рассказать также о причинах невозможности обойтись при геометрических построениях одной линейкой без циркуля, о малоизвестных взаимоотношениях Лобачевского и Евклида с постулатом о параллельных, о связи теоремы Абеля (о неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах) с топологией римановых поверхностей и с его же теорией интегрирования в элементарных функциях, а также о математических открытиях Плутарха и А. Д. Сахарова.

В 1949 г. математику в СССР хотели уничтожить, вероятно, вследствие распространения мнения (Г. Харди, идеи которого впоследствии развил Ю. Манин, и других «математиков»), будто основным достоинством математики является ее «полная бесполезность». Огорчительно, конечно, что с этим снобистским мнением еще приходится бороться и сегодня, но я надеюсь ему, по мере сил, противостоять (см. ниже § 2 о мракобесии в математике).

§ 1. Математика и физика Слово «математика» означает «точное знание». Варварские народы, не склонные к таковому, не имели и соответствующего слова в языке, поэтому сейчас почти во всех языках используется непонятный греческий термин. Исключение составляет лишь голландский язык, где Стевин уже в XVII в. боролся с засорением терминологии иноязычными «сайтами» и «файлами», «баксами» и «киллерами», и настаивал на переводе всех терминов словами родного языка, так что их термин — «вискунде», «знание», приближает уже для детей математику к реальному миру.

Когда Я. Б. Зельдович, замечательный физик-теоретик и один из основателей российской ядерной мощи, выпустил в свет свою «Высшую математику для начинающих физиков и техников», она вызвала страшный гнев тогдашнего цензора математической литературы, академика-математика Л. С. Понтрягина.

Он справедливо указал, что Зельдович определял в своей книге производную функции как «величину отношения приращения функции к приращению аргумента, в предположении, что последнее мало».

Математик был возмущен полным исключением здесь понятий теории пределов, а тем самым и значительной части логического обоснования математического анализа, достигшего совершенства лишь к концу девятнадцатого века, с созданием последовательной теории математического континуума действительных чисел.

Зельдович ответил так: интересует нас всегда именно отношение конечных приращений, а вовсе не какой-то абстрактно-математический предел.

Делать приращение аргумента — скажем, координаты точки или момента времени — меньшим, чем, скажем, 1010 или 1030 (при разумных единицах измерения), — это «явное превышение точности модели, так как структура физического пространства (или времени) на столь малых интервалах уже вовсе не соответствует математической модели теории вещественных чисел (вследствие квантовых феноменов)».

«Дело,— продолжал Зельдович,— просто в том, что находить интересующие нас отношения конечных приращений трудно, поэтому и придуманы приближенные асимптотические формулы для них. Эти-то приближенные формулы математики и называют своими пределами и математическими производными. В любом реальном применении теории следует учитывать, меньше чего не следует делать приращения, чтобы результаты теории соответствовали эксперименту».

Длительная дискуссия закончилась тем, что Понтрягин написал свой учебник начал анализа. Он указал уже во введении к нему, что некоторые физики считают возможным изучать и применять анализ, не восходя до его полного логического обоснования, и что «автор настоящего учебника. с ними согласен».

Прочитав эти строки, Зельдович сказал мне: «В таких случаях цитируют, c указанием имени, а так это — прямо плагиат!»

Эта дискуссия о математической строгости оснований науки вспомнилась мне, когда мой близкий друг, занимавшийся рассчитыванием траекторий спутников и космических кораблей, М. Л. Лидов, стал спорить со мной по поводу моего курса теории дифференциальных уравнений (он читал в МГУ в это же время лекции о спутниковой баллистике, и мы нередко обсуждали с ним то и другое, особенно потому, что я тогда тоже много занимался небесной механикой), «Как и все математики,— сказал мне Миша,— ты учишь студентов теореме единственности, согласно которой интегральные кривые обыкновенных дифференциальных уравнений не пересекаются. Но это утверждение (хотя вы его и доказываете безукоризненно правильно) совершенно неверно. Например, уравнение dx/dt = x имеет решения x = 0 и x = et. Интегральные кривые — графики этих двух решений — любой компьютер прекрасно нарисует, и ты увидишь, что они совершенно явно пересекаются.

Ибо, например, при t = 10 между этими двумя интегральными кривыми не просунешь и атома. Так что теорема единственности — это математическая фикция, имеющая мало отношения к реальному миру ».

После этого собеседник объяснил мне, что именно из-за описанного эффекта при каждом причаливании корабля к пристани в последний момент матрос бросает на пристань чалку, которую там быстро наматывают на кнехт (часто это делает, спрыгнув на пристань, тот же матрос), после чего заключительная часть причаливания происходит вручную, путем вытягивания чалки.

Объясняется все это так. Автоматическое причаливание, в соответствии с общими принципами теории управления, основано на обратной связи: наблюдая оставшееся до причала расстояние x, управление выбирают так, чтобы скорость причаливания плавно уменьшать до нуля (как функцию от x). Естественно, эта функция — гладкая, т. е. при малых расстояниях x скорость будет убывать с x приблизительно линейно.

По обсуждавшейся выше теореме единственности, время причаливания будет бесконечным при любом таком механизме гладкой обратной связи. Чтобы причалить за конечное время, нужно либо отказаться от принципа регулирования (с гладкой обратной связью), заменив управление скоростью корабля работой матроса с чалкой, либо согласиться на удар корабля о причал в заключительной стадии причаливания (для чего и обвешивают край пристани отслужившими автомобильными покрышками).

То, что все это никогда не обсуждается математиками ни в курсах теории динамических систем и дифференциальных уравнений, ни в теории управления и оптимизации, — это, конечно, прискорбное последствие длительного отрыва математиков от реального мира, от физики и техники, в своеобразную башню из слоновой кости аксиоматической науки.

М. Л. Лидов понял все рассказанное не в рамках аксиоматизированной науки (которую он прекрасно знал), а потому, что занимался расчетом посадки космических кораблей на Луну, где встречается та же проблема, что и с кораблями у пристани.

Из-за работающей здесь против нас теоремы единственности космические станции, спускаемые на Луну или планеты, снабжены демпфирующими треногами с суставами, и некоторое время они должны при посадке попрыгать на этих треногах, пока непогашенная энергия не будет диссипирована в процессе изгибания колен ног треноги.

Читайте также:  Поздно мы с тобой поняли что вдвоем вдвойне веселей скачать бесплатно mp3

Не ограничиваясь одной критикой, приведу еще пример огромной пользы четкого математического подхода к реальности из другой работы Лидова.

Луна движется вокруг Земли по орбите, почти находящейся в плоскости эклиптики (т. е. в плоскости орбиты Земли вокруг Солнца). Знаменитая «теорема Лапласа об устойчивости Солнечной системы» говорит, что если наклонение орбиты Луны к плоскости эклиптики невелико, то, несмотря на возмущающее влияние Солнца, лунная орбита будет лишь слегка колебаться (отчего и происходят затмения), но не будет меняться систематически (падать на Землю или уходить от нее).

Лидов поставил себе вопрос, что было бы, если бы первоначальная орбита Луны была сильно наклонена к плоскости эклиптики — скажем, образуя с ней угол в 80 градусов (оставаясь на нынешнем расстоянии от Земли).

Конечно, настоящую Луну перегнать на такую орбиту невозможно. Но искусственный спутник можно запустить и на такую орбиту, перпендикулярную плоскости эклиптики. И вопрос об эволюции этой орбиты (под влиянием притяжения Солнца) — вполне реальный для будущего спутника.

Результат Лидова оказался совершенно поразительным: такая «псевдолуна» свалилась бы на Землю уже через четыре (примерно) года!

Так что запускать такой спутник не стоит.

Причиной падения оказывается не уменьшение радиуса орбиты (среднего расстояния спутника до центра Земли), а сжатие малой оси эллипса, вдоль которого движется спутник, т. е. увеличение его эксцентриситета.

Даже если исходная орбита псевдолуны была с большой точностью круговой, то возмущения быстро превратят ее в эллипс (с уменьшающейся со временем малой осью). Хотя большая ось этого эллипса и сохраняет (как указывал Лаплас) свою длину, равную диаметру невозмущенной орбиты (т. е. диаметру орбиты настоящей Луны), увеличение эксцентриситета со временем сделает этот узкий эллипс в конце концов похожим на всего лишь (проходимый туда и обратно) отрезок.

Вследствие этой сильной эксцентричности орбиты псевдолуны эта орбита начнет пересекать Землю, так что такая псевдолуна упадет на Землю, хотя среднее за период обращения ее расстояние от центра Земли и останется равным такому же среднему для настоящей Луны (даже и в самый момент падения).

Несколько слов о разнице взглядов физиков и математиков на характер нашей общей науки. К концу второго тысячелетия нашей эры журнал «Успехи физических наук» выпустил юбилейный номер и заказал мне для этого номера обзор «Математика и физика» (две другие математические статьи в том же номере журнала написаны К. Вейерштрассом и К. Якоби).

Меня поразило то, что редакция выбросила из моей статьи два четких доказательства резкого различия между подходами математиков и физиков к понятию истины: одно из этих доказательств содержалось в эпиграфе, бывшем цитатой из книги Э. Шрёдингера по статистической термодинамике, а другое — в задаче для дошкольников.

Вот эти, видимо непонятые редакцией, места. Эпиграфов у меня было два: первый (сохранившийся) — высказывание Стендаля: «Из всех наук я больше всего люблю математику, так как в этой науке совершенно невозможно лицемерие, которое я больше всего ненавижу ». Видимо, Стендалю нравилось то, что в математике, если уж однажды сосчитано, что шестью семь — сорок два, то так оно и останется навсегда: истина окончательна и неоспорима.

Шрёдингер же пишет: «Положим величину альфа равной нулю, хотя, во-первых, альфа равной нулю быть не может, а во-вторых, ее обращение в нуль противоречило бы основам квантовой механики».

Видимо, физики предпочитают не афишировать столь явно свое постоянное лицемерие, с его двусмысленностью терминологии и с внутренними логическими противоречиями своих теорий.

Когда я пытался позже обсудить обнаружившиеся различия с главным редактором журнала, академиком В. Л. Гинзбургом, он доказал мне, что математики вообще ничего в физике понять не могут, при помощи формулы из своей статьи. «Вот,— сказал он,— что, по-Вашему, обозначают эти символы?»

Я думал, что понимаю, и сказал: «Индекс i встречается дважды: видимо, это означает суммирование, по соглашению Эйнштейна, так что речь идет о положительно определенной форме — сумме квадратов — не знаю только, скольких, ведь пределы изменения индекса не указаны».

«Итак,— обрадовался физик,— как и все математики, Вы ничего не понимаете. Ведь буква i — латинская, а не греческая. Значит, значений четыре: 0, 1, 2 и 3. Что же касается суммирования, то его тут вовсе и нет: это обозначение релятивистское, поэтому один из квадратов берется с другим знаком, чем остальные три!»

Мне так и не удалось убедить собеседника, что негоже обозначать вычитание знаком сложения (и что ограничение «скорость не выше 60»

бессмысленно, пока не объяснено, идет ли речь о километрах в час или же о парсеках в секунду).

Но вот еще второй пример, показывающий кардинальное различие математического и физического способов постановки и понимания задачи.

В моей статье было два образца (из старых учебников). Математическая задача: «На книжной полке рядом стоят два тома Пушкина.

Страницы каждого тома составляют его толщину 2 см, а каждая обложка добавляет еще по 2 мм. Червь прогрыз от первой страницы первого тома до последней страницы второго, по нормали к страницам. Какое расстояние он прогрыз?»

У меня был указан и неожиданный ответ: 4 миллиметра. Редакция исправила поэтому условие на «от последней страницы первого тома до первой второго». Топологическое мышление — труднее, чем можно требовать от редакции физического журнала. А любое неожиданное утверждение редакторы всегда стараются заменить привычной себе тривиальностью, хотя бы противоположной исходному утверждению.

Недавно (8 февраля 2002 г.) выпуск «Наука» газеты «Известия» заменил в моей статье о проекте реформы школьного образования мои слова «план состоит в том, чтобы отменить обучение всем практическим знаниям и предметам» на более привычную редактору формулу: «план состоит в том, чтобы отдать предпочтение фактическим знаниям и предметам».

Возвращаясь к непонимаемым редакцией задачам, упомяну — замечательную — задачу физического стиля из старого учебника арифметики.

«Гребец плыл на лодке вверх по Неве. Под Троицким мостом у него сшибло шляпу, Поднявшись до Литейного моста, он встретил друга, который ему на это указал. Тогда гребец поплыл вниз, вслед за шляпой (с такой же, как прежде, скоростью относительно воды), и догнал ее через 20 минут, под Дворцовым мостом. Определите скорость течения Невы».

Математику ясно, что эта задача неразрешима. Но составители были лицемерами (или физиками?). Они решали ее так: «согласно принципу относительности Галилея, гребец отплывал от шляпы вверх и догонял ее вниз одинаковое время — те же 20 минут. Значит, шляпа проплыла от Троицкого моста до Дворцового за 40 минут. А так как расстояние между этими мостами составляет одну милю, то. ».

Все физические задачники и учебники построены по этому образцу: неявно предполагаются известными какие-то расстояния между мостами или иные обстоятельства, о которых «нет нужды» говорить (это всегда напоминает мне старую статью в ДАН СССР «О фонтанирующей деятельности китов», в которой участвовала, при вычислении цилиндрического объема кита, формула, содержащая величину «пи» — «константу, которая для гренландских китов равна трем»).

Математическая строгость часто оказывается труднопреодолимым препятствием даже и для хороших математиков. Следующий пример заимствован из замечательной классической книги Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика?» (недавно переизданной на русском языке).

Речь идет о применении топологии. Пусть на катящейся по горизонтальному рельсовому пути платформе установлена перпендикулярно рельсам закрепленная горизонтальная ось, над которой возвышается способный вращаться вокруг этой оси «перевернутый маятник» (стержень).

Утверждается, что каков бы ни был заданный закон движения платформы (в течение промежутка времени от нуля до единицы), начальное положение «маятника» можно выбрать так, что он в конечный момент времени не будет горизонтален (Хасслер Уитни).

Авторы доказывают это так. Если исходное положение маятника — горизонтально лежачее, вперед по ходу, то таким оно и останется. Если же исходное положение — горизонтально лежачее, но назад по ходу, то и это сохранится.

Рассмотрим теперь произвольное начальное положение. Конечное положение определяется начальным. Эта непрерывная функция принимает оба значения «вперед» и «назад». По теореме топологии она принимает и промежуточные значения, что и требовалось доказать.

Некоторое время назад мне передали просьбу от проф. Роббинса (Курант к тому времени уже умер) постараться исправить это «ошибочное доказательство». Дело в том, что никакой непрерывной функции «конечное состояние при данном начальном состоянии» тут сразу не видно: ее нужно еще точно определить (с каким-то учетом влияния возможных ударов о платформу), и нужно доказать ее непрерывность. Я слышал, что американские математики, пытавшиеся всё это сделать, написали (неизвестное мне) сочинение с ошибочными промежуточными утверждениями и доказательствами, так что вопрос о «маятнике» и сегодня, видимо, остается открытым1.

Обсуждая однажды вопрос о происхождении математики на заседании Французского математического общества, я сказал, что математика — это часть физики, являющаяся, как и физика, экспериментальной наукой: разница только в том, что в физике эксперименты стоят обычно миллионы долларов, а в математике — единицы рублей.

Один крупнейший французский математик написал мне в ответ письмо, где сказал, что, по его мнению, математика, напротив, не имеет с физикой ничего общего. Он добавил, что нам, математикам, не следует публиковать этих мнений, так как «в такой публикации даже самый лучший математик способен сказать совершеннейшую чушь».

Я не сомневаюсь, что «самым лучшим» он называл себя, так что расцениваю это письмо как бумеранг: смертоносное оружие, поражающее если не цель, то охотника.

Через некоторое время на одном официальном обсуждении проблем образования в Москве выступил академик Д. В. Аносов со следующей «критикой Арнольда». Арнольд опубликовал (и это правда) в одной своей статье («Полиматематика: является ли математика единой наукой или набором искусств и ремесел» в выпущенной Международным математическим союзом к 2000 г. книге «Математика, ее границы и перспективы»

(под редакцией В. Арнольда, М. Атьи, П. Лакса и Б. Мазура) сравнение высказываний двух крупнейших алгебраистов. Гильберт (в 1930 г., в статье «Математика и естествознание») пишет, что «геометрия — часть физики». А цитированный выше французский математик утверждает, что «у математики и физики нет ничего общего».

Из этих двух утверждений Арнольд (заявил докладчик) усмотрел противоречие. Но это — потому что «Арнольд, в силу своих интеллектуальных недостатков, либо не читал, либо не понял Аристотеля». Для тех же, кто, подобно мне (продолжал Аносов) читал и понял Аристотеля, противоречия тут нет, зато есть вывод: «у математики нет ничего общего с геометрией». «И потому,— заключил свою речь академик Аносов — я предлагаю из всех математических курсов (будь то в Университете, в Средней Школе или в Детском Саду) геометрию полностью исключить».

1 Дискуссия об этой задаче Х. Уитни опубликована: B. E. Blank. Book review: What is mathematics? // Notices of the Amer. Math. Soc. 2001. Vol. 48, № 11. P. 1325—1329;

L. Gillman. Book reveiw: What is mathematics? // Amer. Math. Monthly. 1998. Vol. 105, №5.

P. 485—488; J. E. Littlewood. Littlewood’s miscellany. Cambridge Univ. Press, 1986. P. 32—35.

Через несколько недель я получил от министра образования России план разработанных Министерством новых программ для школ по всем предметам. В соответствии с мнением Аносова (избранного по моей же более ранней инициативе представителем Отделения математики Российской академии наук при Министерстве образования), курс геометрии был полностью исключен из всех учебных планов.

Некоторое время я боролся против этого мракобесного решения; соответствующие письма против исключения геометрии отправили Министерству Ученый совет Математического института имени В. А. Стеклова Российской академии наук — с одной стороны и представители ряда оборонных предприятий (сообщившие мне об этом годом позже в Дубне) — с другой. Через несколько месяцев министр прислал мне (с благодарностью) переработанную версию учебных планов, где геометрия вернулась на свое старинное место2.

Правда, перерабатываются программы требований к школьникам на уроках и особенно на экзаменах (которые, впрочем, предполагается заменить тестами).

Нелепость тестовых испытаний хорошо показывает опыт США, где десятилетиями роль проверки геометрических знаний давалась задаче: «Найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 дюймов и опущенной на нее высотой длиной в 6 дюймов».

Окончившие российские школы испытуемые не могли дать искомое «решение» (S = ah/2 = 30 кв. дюймов), так как понимали, что таких треугольников нет: вершина прямого угла лежит на окружности, диаметр которой — гипотенуза. Поэтому высота не может быть длиннее пяти дюймов.

Но это не останавливает любителей тестов: они «доказали» слабое умственное развитие московских школьников их неспособностью ответить на тестовый вопрос: «Что общего у ежа с молоком?» (я тоже не решил, и испытующие сообщили мне ответ: «они оба свертываются»).

Да минет наших школьников чаша сия! Пусть они по-прежнему решают настоящие интересные задачи, как они и любят!

Вопрос о том, какие математические задачи заслуживают того, чтобы их пытаться решить, и зачем они ставятся и решаются, весьма непрост3 :

проблемы Ферма и Гильберта, Римана и Пуанкаре имеют длинную и поучительную историю. Я приведу ниже несколько примеров, показывающих,

2 Современный управитель суперкомпьютерной фирмы пишет: «Геометрию пора перенести

в курс истории, так как все ее задачи либо решены, либо решаются иными методами.»

(J. Bailey. After Thought. Basic Books, 1996). Попытки обучить подобных людей мышлению, логике и уважению к науке и культуре безнадежны.

3 Поучительные примеры задач, которыми не следует заниматься, привел М. Планк в специально посвященной ненужным задачам лекции 1946 г. в Гёттингене. Простейший его в частности, сколь многое неверно в распространяемых по этому вопросу мнениях. Известный «эпонимический принцип» состоит в том, что если какой-либо объект (например, Америка) носит чье-то имя, то это — не имя первооткрывателя.

Заведовавший Отделением математики Российской академии наук (АН СССР) Николай Николаевич Боголюбов всегда убеждал меня, чтобы я печатал свои статьи не в математических, а в физических журналах4.

По его словам, число читателей хорошей статьи будет таким же — скажем, тысяча. «Разница,— продолжал он,— состоит в том, что при публикации статьи в математическом журнале эта тысяча читателей образуется за сотню лет, по десять читателей в год, и это — вечная слава.

При публикации же в физическом журнале вся тысяча читателей прочтет статью в первые же недели, и автора немедленно выберут в академики, а через сто дней никто уже не будет помнить имя автора, хотя и результаты, и методы статьи будут всеми постоянно использоваться, как общеизвестные (и, разумеется, без ссылки на автора и с последующим присуждением нобелевской премии за это достижение другим)».

Впрочем, Н. Н. Боголюбов показал мне на замечательном примере преимущества своей прагматической точки зрения. В то время я хотел издать в русском переводе избранные сочинения А. Пуанкаре, а издательство отказывалось (ссылаясь на критику Пуанкаре, опубликованную в 1909 г. в «Материализме и эмпириокритицизме»). Когда я стал просить развивавшего идеи Пуанкаре Н. Н. помочь, он сказал: «Нужно использовать то, что Пуанкаре, как и мы с Вами оба, был не только математиком, но также и физиком, даже естествоиспытателем. А естествоиспытатель должен видеть в каждом явлении природы, даже неприятном, вроде извержения вулкана, возможность использовать это явление в научных целях, например — узнать что-либо о внутреннем строении Земли.

Читайте также:  Программа что бы скачивать платные игры для ios бесплатно

В нашем случае речь идет о другом неприятном явлении природы, которое нам и нужно использовать: это антисемитизм и антиэйнштейнианство отдельных лиц». Сказав это, он написал в издательство письмо, объясняющее (совершенно справедливо), сколь велики заслуги Пуанкаре в создании теории относительности. Он опубликовал принцип относительности в своей статье «Об измерении времени» лет за десять до Эйнштейна, пример — дискуссия о том, какая стена в аудитории правая? Расхождение стоящего у доски лектора и его слушателей по этому вопросу непримиримо, так как они обращены друг к другу лицами.

Мне случалось, впрочем, наблюдать, как физики успешно справляются с подобными логическими противоречиями. Например, иногда помогает их прагматическая система измерений, в которой c, h и 4 все равны единице.

4 Среди моих читателей все равно больше физиков, механиков, астрономов и т. п.

который лишь в сороковых годах указал, что он, по советам своего учителя Минковского, разобрал эти работы Пуанкаре до начала своих.

И трехтомное «Избранное» Пуанкаре издали по-русски, включая статью об измерении времени, но без критики Эйнштейна.

§ 2. Математическое мракобесие против Абеля и против Пуанкаре Я надеюсь больше рассказать об Абеле и Пуанкаре, чем о мракобесах.

Вопрос о том, какие математические вопросы заслуживают внимания, а какие нет, очень непрост. Один великий современный математик сформулировал свой ответ так: «Узнать, хороша ли задача, можно только одним способом: надо ее решить».

На Европейском III математическом конгрессе (в Барселоне, в 2001 г.) было объявлено о другом решении проблемы объяснения сущности математической деятельности нематематикам. Один крупный современный деятель сказал, что когда он был студентом математического факультета, то ответил студентам других специальностей в баре, где они вместе пили:

«Вот, под этой курткой на мне рубашка. Математика позволяет мне вывернуть рубашку наизнанку, не снимая куртки!» Он утверждает, что, проделав это топологическое упражнение, он навсегда дал своим коллегам «ясное представление о математике». Я же могу добавить, что именно такие представления о деятельности математиков приводят правительства и общество к прекращению финансирования этой науки и грозят ей полным уничтожением.

Величайший французский математик А. Пуанкаре писал, что в математике немало «да—нет» вопросов, вроде проблемы Ферма: есть ли целочисленные положительные решения у уравнения xn + yn = zn, где n больше двух?

По словам Пуанкаре, именно эти «бинарные» проблемы гибельны для математики: по-настоящему интересные проблемы не допускают ни столь точной формулировки, ни однозначного «да—нет» ответа. Интересно, например, узнать, как и что можно изменить в условиях задачи (скажем, в граничных условиях для дифференциального уравнения), не нарушая его (однозначной) разрешимости. Много таких допустимых изменений или мало? Именно при исследовании такого рода вопросов, а не «да—нет» задач, возникают, по мнению Пуанкаре, новые математические теории, а следовательно — и фундаментальные открытия, и замечательные приложения (как в самой математике, так и вне ее, например в медицине томографии или в небесной механике космических полетов).

Сам Пуанкаре построил, исходя из этого, такие новые науки, как топологию и теорию динамических систем, теорию бифуркаций и теорию автоморфных функций, принцип относительности и вариационное исчисление в целом5. Как основные задачи математики будущего XX в. он назвал тогда построение математического аппарата теории относительности и квантовой физики. Опыт последовавшего столетия показал, что его открытия и предсказания сыграли в развитии математики неизмеримо большую роль, чем составленный Гильбертом (по тому же случаю конца XIX в.) список из пары десятков «да—нет» задач. В «проблемах Гильберта» практически отсутствовала, например, именно наиболее развивавшаяся в XX в. область математики — топология, затронутая лишь отчасти в гильбертовых проблемах 13 (о суперпозициях) и 16 (о вещественных алгебраических кривых и о предельных циклах).

К концу XX в. Международный математический союз выпустил книгу «Математика, ее границы и перспективы» (под редакцией В. Арнольда, М. Атьи, П. Лакса и Б. Мазура). В этой книге содиректор Боннского математического института Ю. И. Манин дал свои новые определения математики, математического образования и новую оценку стоящих перед математикой задач. О них я теперь и расскажу.

Математика, согласно Манину, — это отрасль лингвистики или филологии, занимающаяся преобразованием конечных цепочек символов некоторого конечного алфавита в другие такие цепочки при помощи конечного числа «грамматических» правил. Отличие от естественных языков, вроде китайского, английского или русского, состоит лишь в том, что в грамматике этого специального языка есть отсутствующие в живых языках правила (например, набор символов «1 + 2» можно заменить на символ «3»).

Гильберт, долго придерживавшийся аналогичного формального определения, оставил его, после того как Гёдель опроверг его оптимистическое предположение возможности полной формализации всей математической науки. Гёдель доказал наличие в каждой достаточно богатой формальной теории таких утверждений, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках этой теории. Сейчас доказано, что к этому классу принадлежит, например, гипотеза Кантора об отсутствии промежуточной мощности между мощностями множеств всех целых и всех вещественных чисел.

Доказательства невозможности являются замечательной и глубоко неочевидной частью математики, и я приведу здесь такое доказательство для другого случая: докажу невозможность построения центра словаре Ларусса (1926 г.) А. Пуанкаре определялся как «автор понятия функция 5В Фукса»: школа Пуанкаре существует скорее в России, чем во Франции.

заданной на плоскости окружности при помощи одной лишь линейки (циркулем и линейкой построить центр можно).

Это доказательство начинается с рассмотрения «косого» конуса, опирающегося на заданную окружность: прямая, соединяющая вершину конуса с центром окружности, должна не быть перпендикулярной плоскости окружности. В этом его «косина».

Косой конус не является вращательно симметричным, и его сечение плоскостью, перпендикулярной его (естественно определяемой) оси, эллиптично — я не собираюсь ни использовать эту эллиптичность, ни ее доказывать, ни даже точно определять «ось».

Важным свойством косого конуса является то, что окружности получаются при его пересечении некоторыми двумя непараллельными плоскостями (одинаково наклоненными к оси, но в противоположные стороны).

Существование таких непараллельных друг другу круговых сечений доказать легко (хотя бы из соображений непрерывности отношений длин осей получающегося в сечении эллипса в зависимости от наклона секущей плоскости).

Предположим теперь, что какие-либо построения прямых на исходной плоскости всегда доставляют центр исходной окружности. Спроектируем всю эту конструкцию на плоскость непараллельного исходному кругового сечения лучами, исходящими из вершины конуса. Тогда на этой плоскости непараллельного сечения будут выполнены те же самые построения линейкой, что и на исходной плоскости. И если бы эти построения всегда приводили к центру, то оказалось бы, что центр исходной окружности и центр непараллельного ей кругового сечения проектируются друг в друга лучом из вершины конуса, т. е. лежат с этой вершиной на одной прямой.

Но эти два центра на одной прямой с вершиной конуса не лежат (что легко проверить даже просто экспериментально).

Значит, построения, всегда приводящего к центру окружности, не существует.

Другой классический пример древней неразрешимой задачи — теорема Абеля о несуществовании формулы, состоящей из радикалов и из рациональных функций, доставляющей решение общего алгебраического уравнения пятой (или более высокой) степени, например уравнения x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0.

(1) Доказательство этой теоремы Абеля — топологическое. Его проще объяснить для случая уравнения покороче, x5 + ax + 1 = 0, (2) которое уже тоже неразрешимо в радикалах в указанном выше смысле.

Комплексное решение x этого уравнения является (пятизначной) комплексной алгебраической функцией от значения комплексного коэффициента a. Когда коэффициент a непрерывно меняется, пять комплексных корней уравнения тоже непрерывно меняются. Если менять коэффициент так, чтобы у уравнения (2) ни в какой момент не было кратного корня, то можно непрерывно следить за каждым отдельным корнем. И если в некоторый момент значение коэффициента a вернется к своему исходному значению, то и двигавшиеся непрерывно корни все вместе в конце будут теми же, что и в начале, однако каждый отдельный корень может при этом вернуться не на свое исходное место, а на место другого корня, как это происходит, например, с корнями квадратного уравнения x2 + a = 0, когда комплексный коэффициент a обходит вокруг начала координат.

В результате движения параметра a возникает перестановка пяти корней исходного уравнения (для квадратного уравнения это была бы просто перестановка, переводящая корень x1 в корень x2, а x2 — в x1).

Всевозможным (не приводящим по дороге к кратным корням) путям движения коэффициента a от начального положения обратно к нему же отвечает некоторый набор перестановок корней начального уравнения. Этот набор образует группу: если две перестановки реализуются движениями коэффициента a, то можно реализовать и их произведение, состоящее в последовательном применении сначала одной, а потом другой перестановки. Для этого коэффициенту a нужно пройти сначала первый замкнутый путь, а потом второй. При прохождении пути в обратную сторону будет реализована перестановка корней, обратная той, которую реализовывал исходный путь (произведение прямой и обратной перестановок возвращает каждый корень на свое исходное место).

Итак, все реализуемые путями в плоскости коэффициента a перестановки корней x образуют группу. Эта группа перестановок корней исходного уравнения называется его группой монодромии («однозначности вдоль путей»).

Чтобы понять все это, полезно найти группу монодромии приведенного выше уравнения (2). Оказывается, эта группа состоит из всех 120 перестановок пяти корней исходного уравнения.

Группа всех n! перестановок n предметов называется n-й симметрической группой и обозначается через Sn. Например, группу S3 можно считать группой из шести симметрий правильного треугольника, вершины которого она переставляет, а группу S4 — группой из 24 симметрий правильного тетраэдра (в ней 12 вращений и 12 отражений), переставляет же она четыре вершины тетраэдра.

Вращения образуют подгруппу R в этой группе симметрий: произведение двух вращений является вращением. Группа R не коммутативна.

В группе вращений тетраэдра есть еще замечательная подгруппа G из 4 элементов. Она состоит из трех вращений на 180 вокруг осей, соединяющих середины противоположных ребер, и из тождественного преобразования. Группа G коммутативна.

Группа вращений тетраэдра действует на тройке прямых, соединяющих середины противоположных ребер. Указанная выше подгруппа состоит в точности из всех тех вращений, которые переводят каждую из описанных трех прямых в себя. Таким образом, мы получаем цепочку из трех групп

G R S4.

В группе симметрий тетраэдра S4 есть еще и другие подгруппы — например, группа 6 симметрий, оставляющих на месте одну из вершин, или из двух симметрий, переводящих в себя одно из ребер.

Эти подгруппы, однако, зависят от «случайного» выбора (вершины или ребра), они меняются местами при перенумерации вершин (как говорят в математике, «при изменении системы координат»). Напротив, группы G и R не зависят ни от какого произвола в выборе системы отсчета (т. е.

от нумерации вершин): они инвариантны относительно такого изменения нумерации вершин (которое, например, превратило бы перестановку 1 2 3 1 в перестановку 2 4 1 2, если бы мы придали вершинам (1, 2, 3, 4) номера (2, 4, 1, 3)).

Инвариантные подгруппы называют также нормальными делителями. Всякий раз, когда подгруппа B группы A является нормальным делителем, можно «разделить A на B» и образовать новую группу C, называемую факторгруппой (и обозначаемую C = A/B). Элементами группы C являются «классы смежности» aB элементов группы A по подгруппе B.

Класс смежности aB элемента a — это множество (не подгруппа!) всех произведений вида ab, где b — любой элемент подгруппы B. Этот класс — подмножество группы A.

Умножение в C определяется как умножение представителей: (a1 B) (a2 B) = a1 a2 B. Класс a1 a2 B не зависит от от выбора представителей a1 и a2 классов a1 B и a2 B, а только от самих классов, если подгруппа B — нормальный делитель. Факторгруппа Z/nZ группы целых чисел по подгруппе чисел, делящихся на n, называется группой вычетов по модулю n и состоит из n элементов.

Полезно иметь в виду построенную выше цепочку («из трех групп и двух отображений») 1 B A C 1.

Стоящая дополнительно слева единица означает, по определению, что отображение B A — вложение подгруппы (т. е. что образы разных элементов всегда разные). Стоящая дополнительно справа единица означает, по определению, что образ отображения A C покрывает группу C целиком. Каждая стрелка по определению переводит произведение любых двух отображаемых объектов в произведение их образов (такие отображения называются гомоморфизмами).

Каждая соседняя пара стрелок в нашей строке из четырех стрелок обладает тем свойством, называемым точностью, что выходящий из средней группы гомоморфизм переводит в 1 в точности весь образ приводящего в среднюю группу слева гомоморфизма.

Цепочка (в ней может быть и больше групп и гомоморфизмов) называется точной последовательностью, если в каждой средней группе выполнено указанное и подчеркнутое выше свойство точности.

Факторгруппы по нашим специальным нормальным делителям легко вычислить. Эти группы

S4 /R, R/G, G/

состоят из двух, трех и четырех элементов соответственно, и каждая из них коммутативна.

Чтобы все это понять, полезно рассмотреть еще группу B всех симметрий куба. В ней 48 элементов. У куба четыре большие диагонали.

Симметрии куба переставляют их. Мы получаем гомоморфизм

B S4,

сопоставляющий симметрии куба перестановку диагоналей. Образом является вся группа 24 перестановок диагоналей.

В тождественную перестановку 1 отображаются две симметрии куба:

тождественная и антиподальная (симметрия относительно центра). В частности, подгруппа из 24 вращений куба отображается на группу S4 перестановок диагоналей изоморфно.

Теперь нужно посмотреть, какие из подгрупп группы всех симметрий куба являются в ней нормальными делителями.

Основное для теории разрешимости уравнений в радикалах понятие теории групп — это понятие разрешимой группы. Разрешимость — это «составленность из коммутативных составляющих». Группа G называется разрешимой, если для нее существует такая цепочка нормальных делителей 1 G1 G2. (Gn = G) (Gk — нормальный делитель в Gk+1), что все факторгруппы Gk+1 /Gk коммутативны.

Выше мы показали, что группа S4 симметрий тетраэдра разрешима.

Еще легче проверить разрешимость группы S3 симметрий правильного треугольника.

Ненамного сложнее доказать разрешимость группы B симметрий куба.

Но самым замечательным является тот факт, что группа S5 всех 120 перестановок пяти элементов уже неразрешима. Эта неразрешимость следует из того, что единственный имеющийся в группе S5 нетривиальный нормальный делитель — это группа из 60 четных перестановок. А она уже не имеет нетривиальных нормальных делителей (тривиальные — это 1 и сама группа).

Доказательства этих свойств группы перестановок из пяти элементов можно извлечь из свойств додекаэдра — правильного многогранника, имеющего 12 (отсюда «додека», греческое «двенадцать») пятиугольных граней, сходящихся по 3 в 20 вершинах и пересекающихся по 30 ребрам.

Читайте также:  Сайт где скачивают программы бесплатно

В додекаэдр можно вписать пять кубов, вершинами каждого из которых является часть вершин додекаэдра. С этой целью начнем с одной из пяти диагоналей грани. На двух соседних гранях, сходящихся в конце этой диагонали, тоже выберем по проходящей через эту вершину диагонали грани (так, чтобы три сходящиеся в этой вершине додекаэдра выбранные диагонали граней переводились друг в друга сохраняющим эту вершину вращением додекаэдра). Продолжая этот процесс выбора диагоналей в вершинах уже построенных диагоналей граней, мы будем получать все новые диагонали граней и вершины, пока не построим все 8 вершин искомого куба и все 12 его ребер (являющихся диагоналями двенадцати граней додекаэдра).

На каждой грани додекаэдра мы получим таким путем одну диагональ.

Если бы мы начали с другой из пяти диагоналей исходной грани, то построили бы другой из пяти вписанных в додекаэдр кубов.

Описанная здесь конструкция была использована Кеплером при анализе планетных орбит и поиске закона распределения расстояний планет от Солнца в геометрии правильных многогранников, вписанных друг в друга.

Он называл это «гармонией мира».

Проделав такую же конструкцию с диагоналями граней для исходного куба вместо додекаэдра, мы получили бы два тетраэдра, вписанных в куб (вместо пяти кубов, вписанных в додекаэдр). Это построение тетраэдров позволяет легко доказать разрешимость групп симметрий и вращений куба, а с ними — разрешимость в радикалах уравнений четвертой степени.

Для додекаэдра и группы S5 анализ подгрупп и нормальных делителей немного сложнее, но тоже в принципе прост: перемножая симметрии, легко проверить, что подгруппа обязательно совпадает со всей группой S5, если она содержит хотя бы одну симметрию, переставляющую пять кубов нечетным образом, и удовлетворяет принципу относительности («независимости подгруппы от выбора координат»), определяющему нормальные делители.

Дело в том, что принцип относительности доставляет вместе с данной (нечетной) симметрией так много других (получающихся из нее какой-либо еще симметрией, действующей как перевыбор системы координат), что из их произведений составляется уже вся группа S5.

Из неразрешимости группы S5 перестановок пяти элементов следует и неразрешимость групп перестановок большего числа элементов S6, S7.

Возвращаясь к теореме Абеля, я скажу только, что группа монодромии корня степени m (x = a1/m) — коммутативная группа (группа вычетов по модулю m). А группа монодромии комбинации нескольких коренных функций составляется из монодромий составляющих ее радикалов (коренных функций) так, что группа монодромии комбинации оказывается разрешимой.

Поэтому общее уравнение степени 5 или выше неразрешимо: ведь его группа монодромии неразрешима (что следует, как это объяснено выше, из анализа симметрий додекаэдра и их действий на 5 вписанных в додекаэдр кубов).

Таким образом, доказательство теоремы Абеля соединяет все части математики: геометрию (додекаэдр), алгебру (разрешимые группы), топологию (монодромия) и даже (хотя об этом я выше не говорил) теорию чисел (алгебраических). Анализ тоже появляется здесь — в виде теории римановых поверхностей, и я скажу сейчас об этом несколько слов.

Абелевым интегралом называется интеграл от рациональной функции от двух переменных, связанных между собой алгебраическим уравнением:

I= R(x, y) dx, H(x,y)=0

где R — рациональная функция, а H — многочлен (определяющий ту алгебраическую кривую , вдоль которой ведется интегрирование).

Это — прямое обобщение классических «табличных интегралов» Ньютона, включающих в себя квадратные корни, или интегралов от рациональных комбинаций тригонометрических функций, или эллиптических интегралов, выражающих длину эллипса или его дуги, включающих квадратные корни из многочленов степени 4, и т. д.

В этом случае радикалов для выражения интегралов явно недостаточно (появляются, как все знают, еще и логарифмы, арксинусы, арктангенсы и т. д.). Аналогом разрешимости в радикалах является в этом случае возможность интегрирования в классе элементарных функций, т. е.

возможность представления интеграла в виде конечной комбинации радикалов, экспонент, логарифмов, тригонометрических и обратных к тригонометрическим функций.

Оказывается, этот «вычислительный» вопрос в действительности является топологическим вопросом теории римановых поверхностей. Дело в том, что уравнение алгебраической «кривой» можно рассматривать как задающее подмножество («кривую») не на вещественной плоскости R2, а на комплексной плоскости C2 (считая обе переменные x и y комплексными числами). Эта «комплексная кривая» является в действительности (в вещественном смысле) поверхностью, т. е. двумерным вещественным подмногообразием того вещественно-четырехмерного пространства R4, которым является «комплексная плоскость» C2. Ибо одноединственное комплексное уравнение H(x, y) = 0 является уже парой вещественных: ведь нулю равны и вещественная, и мнимая часть значения многочлена H.

С топологической точки зрения «комплексная кривая» является вещественно-двумерной поверхностью. Гладкие двумерные поверхности в топологии все описаны. Если такая поверхность связна, компактна и ориентируема, то она либо диффеоморфна сфере S2, либо получается из сферы приклеиванием некоторого конечного числа g гладких ручек. Случай g = 1 соответствует поверхности тора, являющегося сферой с одной ручкой, случай g = 2 — поверхности кренделя, получающегося соединением двух торов по маленькой общей окружности (ограничивавшей на каждой из склеиваемых поверхностей выкидываемый при склеивании диск). Число g называется родом поверхности.

Ориентируемость, которой не обладает лента Мёбиуса или содержащая эту ленту (как обнаружил Мёбиус, потому и открывший ленту) проективная плоскость, всегда гарантирована для комплексных многообразий (их ориентация задается направлением вращения «от 1 к i», с возрастанием аргумента вращаемого вектора). Так что все комплексные алгебраические кривые естественно ориентированы. Гладкость, связность и компактность — это настоящие ограничения. Компактность восстанавливается при добавлении к неограниченной алгебраической кривой, вроде гиперболы, ее «бесконечно удаленных» точек. Например, комплексная прямая, вещественно диффеоморфная вещественной плоскости, дополняется до компактной кривой одной бесконечно удаленной точкой, что превращает ее в сферу Римана, называемую также комплексной проективной прямой. Окружность при рассмотрении комплексных точек становится вещественным цилиндром (это особенно ясно, если переписать уравнение, выбрав другую систему комплексных координат, в виде ). Этот цилиндр становится сферой при его пополнении двумя его бесконечно удаленными точками (z = 0 и w = 0). Так что в комплексной области окружность определяет в качестве пополненной римановой поверхности опять двумерную сферу, как и прямая, и имеет род нуль.

Особые точки (как конечные, так и бесконечно удаленные) появляются на алгебраических кривых в качестве исключения. Например, кривые на плоскости с координатами x и y неособы при всех отличных от нуля значениях параметра c, а при c = 0 эта кривая имеет одну точку самопересечения (и, в пополненном виде, она состоит из двух пересекающихся в этой точке сфер Римана).

Теорема Абеля. Если род римановой поверхности кривой равен нулю, то все абелевы интегралы вдоль этой кривой выражаются через элементарные функции. Если же род больше нуля, то некоторые из абелевых интегралов вдоль этой кривой не являются элементарными функциями (от конца пути интегрирования).

Удивительна в этой теореме связь совершенно отдаленных на первый взгляд друг от друга областей математики: теории элементарных функций, интегрирования и топологии. Но математика едина, хотя организаторы Конгрессов и делят ее на десятки «секций».

Один частный случай этой теоремы — так называемая «теория подстановок Эйлера» — входит часто в начальные курсы анализа. Кривые рода нуль (римановы поверхности которых диффеоморфны сфере) обладают еще одним замечательным свойством: они являются рациональными кривыми, т. е. могут быть заданы параметрически в виде при помощи пары рациональных функций (f, g).

«АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» А.Б. НИКОЛЕНКО СТАТИСТИКА ПРАКТИКУМ для самостоятельной работы Алматы Автор-составитель: НИКОЛЕНКО А.Б., кандидат физико-математических наук, доцент Алматинского филиала НОУ ВПО «Санкт-Петербургский Гуманитарный университет профсоюзов» Рекомендовано к печати Учебно-методическим советом Алматинского филиала НОУ ВПО «Санкт-Петербургский. »

«От редакции В прошлом году «Вопросы образования» открыли на страницах журнала дискуссию по выбору наукометрических и иных экспертных показателей для оценки продуктивности работы исследователей и научных организаций. Началась она с публикации фрагментов из оригинальной статьи Х. Хирша, а затем статьи питерских специалистов об использовании индекса Хирша в Российском индексе научного цитирования (РИНЦ). Сегодня к обсуждению присоединились представители научного сообщества Астраханского. »

«ЭЧАСТОТНЫЕ ЗАНИЯ КИХ ВИБРАТОРОВ Классический курс Г. Я. Мякишев Б. Б. Буховцев В. М. Чаругин физика 11 класс Учебник для общеобразовательных учреждений Базовый и профильный уровни Под редакцией проф. В. И. Николаева проф. Н. А. Парфентьевой Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 19-е издание Москва «Просвещение» УДК 373.167.1:53 ББК 22.3я М99 Серия «Классический курс» основана в 2007 году Разделы «Основы электродинамики», «Колебания и вол­ ны», «Оптика» и. »

«ФИЗИКА. 10 11 класс математического профиля Общая характеристика учебного предмета Физика как наука о наиболее общих законах природы, выступая в качестве учебного предмета в школе, вносит существенный вклад в систему знаний об окружающем мире. Школьный курс физики — системообразующий для естественно-научных учебных предметов, поскольку физические законы лежат в основе содержания курсов химии, биологии, географии и астрономии. Изучение физики является необходимым не только для овладения основами. »

«Васькова Ю.И. Сравнительный и корреляционный анализ входного тестирования по математике Подходы к оценке эффективности антикризисного управления мясоперерабатывающими предприятиями и физике в Самарском государственном университете АПК Украины // Вестник Самарского государственного университета. 2015. № 2 (124). С. 21–29 УДК 65.01:338.43: 338.24.01 Ю.И. Васькова* ПОДХОДЫ К ОЦЕНКЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ АНТИКРИЗИСНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЯСОПЕРЕРАБАТЫВАЮЩИМИ ПРЕДПРИЯТИЯМИ АПК УКРАИНЫ В статье раскрыта методика. »

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ ИФВЭ 2004–41 ОТФ А.А. Логунов ТЕОРИЯ КЛАССИЧЕСКОГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ Направлено в “Вестник МГУ.” Серия 3. Физика. Астрономия. Протвино 2004 УДК 539.1.01 М–24 Аннотация Логунов А.А. Теория классического гравитационного поля: Препринт ИФВЭ 2004–41. – Протвино, 2004. – 10 с., библиогр.: 18. В статье дается краткое описание основных положений релятивистской теории гравитации и ее предсказаний относительно коллапса. »

«ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ ГИДРОФИЗИКА. 2013. Т.6, № 4 УДК 504.455 © Е.А.Верещагина1,2, А.Ю.Дворников3, В.Г.Румынин1,2, В.А.Рябченко3, А.М.Никуленков1,2, 201 Санкт-Петербургское отделение Института геоэкологии им. Е.М.Сергеева РАН Санкт-Петербургский государственный университет 3 Санкт-Петербургский филиал Института океанологии им. П.П.Ширшова РАН ea.grigorieva@gmail.com ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ БЕЛОЯРСКОЙ АЭС НА ГИДРОТЕРМИЧЕСКИЙ РЕЖИМ ВОДОЕМА-ОХЛАДИТЕЛЯ На основе разработанной трехмерной. »

«Предисловие редактора. 8 Плохо ли быть материалистом. . 8 Должна ли физика бояться метафизики. Метафизика в «Метафизике» Ю. С. Владимирова. Предисловие. »

«Статистико-аналитический отчет о результатах ЕГЭ ФИЗИКА в Хабаровском крае в 2015 г. Часть 2. Отчет о результатах методического анализа результатов ЕГЭ по ФИЗИКЕ в Хабаровском крае в 2015 году 1. ХАРАКТЕРИСТИКА УЧАСТНИКОВ ЕГЭ Количество участников ЕГЭ по предмету % от общего % от общего % от общего Предмет чел. числа чел. числа чел. числа участников участников участников Физика 1909 24,72 1416 21,29 1406 23,94 В ЕГЭ по физике приняло участие 1406 человек, из которых 73,97% юношей и 26,03%. »

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА» ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА РАЗРАБОТКА И СОЗДАНИЕ БАЗОВОГО УЧЕБНОМЕТОДИЧЕСКОГО КОМПЛЕКТА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ ШКОЛЬНИКОВ К УЧАСТИЮ В ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ТУРАХ ОЛИМПИАД ПО ФИЗИКЕ Выполнил студент 405 академической группы: Тихонов Павел Сергеевич Научные руководители: доцент кафедры общей физики к.ф.-м.н. Якута Алексей. »

«Черных Игорь Анатольевич Многослойные эпитаксиальные структуры сверхпроводник-интерслой для увеличения токонесущей способности сверхпроводящих лент второго поколения 01.04.07 Физика конденсированного состояния Диссертационная работа на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: к.ф.-м.н. Занавескин Максим Леонидович Москва. »

«Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) Федеральный университет» ИНСТИТУТ ФИЗИКИ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Специальность: 050203.65 Физика с дополнительной специальностью «информатика» ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА ВЯЗКОСТЬ В ОДНОКОМПОНЕНТНЫХ ЖИДКОСТЯХ Работа завершена “”_2015 г. _(М.Л.Пуганова) Работа допущена к защите. »

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ» ГЛОБАЛЬНАЯ ЯДЕРНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ № 1(10) Основан в ноябре 2011 г. Подписной индекс в объединенном каталоге «Пресса России» – 10647 Выходит 4 раза в год ISSN 2305-414X Главный редактор: М.Н. Стриханов, доктор физико-математических наук, профессор Редакционный совет: М.Н. Стриханов (главный редактор, д-р физ.-мат. наук, проф.), В.А. »

«ЗАЛИХАНОВ Михаил Чоккаевич Герой Социалистического Труда, академик РАН, Член Высшего консультативного комитета ООН по стихийным бедствиям, кандидат биологических наук, доктор географических наук, профессор.Научная сфера: гляциология, изучение физики снега и снежных лавин, геология, геофизика, экология.Образование и карьера: Родился 22 июня 1939 г. в селе Эльбрус Кабардино-Балкарской АССР. Окончил физико-математический (1962), инженерно-технический (1965) и сельскохозяйственный (1971) факультеты. »

«Контакты: тел. (495) 579-96-45, 617-41-83 e-mail: zakaz@id-intellect.ru, id-intellect@mail.ru Cайт: www.id-intellect.ru Почтовый адрес издательства: 141700, г. Долгопрудный, МО, Промышленный проезд, 14. КАТАЛОГ I полугодие 2015г. Дискретная, прикладная и вычислительная математика Издательский Дом “Интеллект” 2 Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики, 3-е изд. 3 Розанов Ю. А. Лекции по теории вероятностей, 3-е изд. 6 Баренблатт Г. И. Автомодельные явления анализ. »

«ИНЖЕНЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ЗДАНИЙ Великой 11обеды Е. В. Стефанов ВЕНТИЛЯЦИЯ И КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ ВОЗДУХА „„, | 5 | W | Го Л У№ АРКТИКА II 02 0 3 05 19 1.5 1» 315 &5 (В. м/с ИНЖЕНЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ЗДАНИИ Е. В. Стефанов ВЕНТИЛЯЦИЯ И КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ ВОЗДУХА хзчп sVAEl А Р К Т И К А ‘ **_и_ W W W A R K T I K A. R U ИЗДАТЕЛЬСТВО «АВОК СЕВЕРО-ЗАПАД» САНКТ-ПЕТЕРБУРГ УДК 697.9 (075.8) С-79 ИНЖЕНЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ЗДАНИЙ Стефанов Евгений Васильевич ВЕНТИЛЯЦИЯ И КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ ВОЗДУХА Настоящая книга переиздается в. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (РГГМУ) Допущена к защите Кафедра экспериментальной Зав. кафедрой д. ф.-м. наук, проф. физики атмосферы А.Д. Кузнецов ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА БАКАЛАВРА Система дистанционного зондирования водяного пара сетью наземных навигационных приемников Выполнил Нгуен Тонг Там гр. МБ-457 Руководитель канд. ф.-м. наук, доцент В.В. Чукин. »

«Кудрявцев Павел Степанович Курс истории физики Курс истории физики Курс истории физики предназначен для студентов педагогических институтов. В нм изложена история мировой физики от древности до наших дней. Книга состоит из трх частей. В первой освещена история становления физической науки, заканчивающейся Ньютоном. Последняя, третья часть посвящена истории становления квантовой, релятивисткой и ядерной физики. Кудрявцев Павел Степанович Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ. спец. 2. »

«Глава 1 ВЗГЛЯД ИСТОРИКА РАЗВИТИЕ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЕ НАУЧНЫХ ШКОЛ В НОВОСИБИРСКОМ НАУЧНОМ ЦЕНТРЕ СО РАН Н.А. Куперштох* ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКИ СО АН СССР (ИГиГ) Институт организован в 1957 г. в числе первых десяти институтов Сибирского отделения в Новосибирске. Это был первый в стране опыт объединения в одном научном учреждении специалистов основных направлений современной геологической науки. Инициатором и организатором института выступил член-корреспондент АН СССР. »

«ОРГАНИЗАТОРЫ СИМПОЗИУМА Российская Академия Наук (РАН), Южный научный центр РАН, Южный федеральный университет (ЮФУ) Научно исследовательский институт физики ЮФУ, Молодежный физико-технический научно-инновационный центр ЮФУ–ЮНЦ РАН, Совместный студенческий научно-исследовательский институт физического материаловедения ЮНЦ РАН – НИИ физики ЮФУ, Исследовательско-технологический центр ООО «Роберт Бош», Учреждение РАН Институт радиотехники и электроники им. В.А.Котельникова РАН, ФИНАНСОВАЯ. »

Источник

Adblock
detector